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函数依赖
- X→Y，表示Y依赖于X；
- X→Y，且Y→X不成立，Y→Z，则X→Z，表示Z传递依赖于X。
函数依赖性质
- 自反性
- 传递性
- 增广性 A → C 可以推出 AB → BC
函数依赖的种类
（完全函数依赖：在关系模式R（u）中，X,Y是U的子集，Y函数依赖于X 并且 Y非函数依赖于X的子集，则称Y完全函数依赖于X。X f >Y）—> Y依赖于X,但未必都依赖X的子集。
（部分函数依赖：在关系模式R（u）中，X,Y是U的子集，Y函数依赖于X 并且 Y函数依赖于X的子集）
（函数依赖：某个属性集决定另一个属性集时，例如学生学号属性集Sno决定学生姓名属性集Sname，称Sname函数依赖于Sname ）
（平凡函数依赖：Y函数依赖于X,并且Y包含于X，例如（Sno）->(Sno)、（Sno、Sname）->（Sno））
（非平凡函数依赖：Y函数依赖于X,并且Y不包含于X,例如(Sno,Sname）->（Ssex））
键
候选键： 能够唯一表示一个元组，且不含多属性
超键： 是指能够唯一表示一个元组的属性集
主属性：表示候选键中的属性
非主属性：不包含在主键中的属性
判断主键的方法 ：若属性集为{ A , B, C}，A+ = ABC。 则A为主键。（属性闭包判断法）
范式 Normal Forms
（1）第一范式1NF：关系中的所以属性值都是不可分割的原子值；
（2）第二范式2NF：如果关系是1NF，且每个非主属性都完全依赖于候选键；
（3）第三范式3NF：如果关系是1NF，且每个非主属性都不传递依赖于候选键；
（4）鲍依斯-科得(巴斯)范式BCNF范式：如果关系是1NF，且每个属性都不传递依赖于候选键。
BCNF意味着在关系模式中每一个决定因素都包含候选键，也就是说，只要属性或属性组A能够决定任何一个属性B，则A的子集中必须有候选键。
属性闭包
定义：闭包就是由一个属性直接或间接推导出的所有属性的集合。
表示：B的闭包用B+表示。
计算：关系R的属性集X的闭包的步骤如下：
- 设最终将成为闭包的属性集是Y，把Y初始化为X；
. 检查F中的每一个函数依赖A→B，如果属性集A中所有属性均在Y中，而B中有的属性不在Y中，则将 其加入到Y中； - 重复第二步，直到没有属性可以添加到属性集Y中为止。 最后得到的Y就是X＋
举例：
例1： R = {A,B,C,D,E}
F = {B→CD， D→E, B→A, E→C， AD→B }
则 B+ = B ; B+ = BCD; B+ = BCDA； B+ = BCDAE。（推导过程是属性依赖传递的过程。
所以最终B+ 包含了R中所有属性。 故B is a key for R。
例2： 有关系模式R(U，F)，其中U={A，B，C，D，E，I}，F={A→D，AB→E，BI→E，CD→I，E→C}，计算(AE)闭包。
(1) 令X={AE}，X(0)=AE
(2)在F中寻找尚未使用过的左边是AE的子集的函数依赖，结果是: A→D， E→C；所以 X(1)=X(0)DC=ACDE， 显然 X(1)≠X(0).
(3) 在F中寻找尚未使用过的左边是ACDE的子集的函数依赖， 结果是: CD→I；所以 X(2)=X(1)I=ACDEI。虽然X（2）≠X(1)，但F中寻找尚未使用过函数依赖的左边已经没有X（2）的子集，所以不必再计算下去，即(AE)+=ACDEI。
例3：f={a->b，b->c，a->d，e->f}；由a可直接得到b和d，间接得到c，则a的闭包就是{a，b，c，d}
关系模式分解
关系模式分解必须遵守两个准则
(1)无损联接性：信息不失真（不增减信息）。
(2)函数依赖保持性：不破坏属性间存在的依赖关系
无损连接分解
R的无损分解为X Y，那么 x∩y →x 或者 x∩y → y.
####Dependency Preserving Decomposition 依赖保持分解
关系模式R<U,F>的分解是指R为它的一组子集
ρ={R1<U1,F1>, R2<U2,F2>,…, Rk<Uk,Fk>}所代替的过程。
其中U=U1∪U2∪…∪k ,并且没有Ui≤Uj(表Ui包含于Uj，1≤i,j≤k),
Fi是F在Ui上的投影，即Fi={X→Y∈F+∧XY≤Ui}(表XY包含于Ui）。
描述：R被分解为 i个关系子集 Ri。Fi为每个子集的函数依赖投影。
计算函数依赖fi保持的方法就是：Fi∪Fj 推出 fi成立，其中Fi Fj的计算从自身属性和原来函数依赖推导得来。
模式分解是独立保持的条件就是，所有函数依赖Fi的投影的并集的闭包 = F的闭包
思考： 可否是Fi的闭包的并集 = F的闭包？
回答：不可以，因为每个子集的函数依赖Fi，可能产生跨子集的函数依赖，先求Fi的闭包会产生不完整的闭包关系。
BCNF分解
BCNF的要求：函数依赖要么平凡，函数依赖的左侧是超键
如果X→Y违反BCNF, 分解R 为R-Y 和XY。
第三范式分解
第三范式的条件：
- 平凡依赖
- x 属于超键
- A属于候选键
部分依赖
传递依赖
最小覆盖模型— 简化函数依赖集
补充知识点
自然连接
在连接运算当中，一种最常用的连接是自然连接。如果关系R与S具有相同的属性组B，且该属性组的值相等时的连接称为自然连接，结果关系的属性集合为R的属性并上S减去属性B的属性集合。
参考的文章
