线性组合和列向量
定义
线性组合可以理解为许多系数乘以对应的列向量（其实就是向量都是一列的hhh），然后相加，最终得到一个新的列向量。其中一个例子如下：
$$cv + dw = c \left[ \begin{matrix} 1 \ 1 \end{matrix} \right] + d \left[ \begin{matrix} 2 \ 3 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} c+2d \ c + 3d\end{matrix} \right] \tag{1}$$
其中 v w 为列向量，c，d为系数。列向量可以为多个维度(行），系数代表实数。
我们定义对于多个列向量 v，… ,w，其线性组合就为 cv+…+dw。
运算
关于列向量，需要了解的运算：
- 列向量相加：向量对应的位置的值直接相加
- 标量和列向量相乘：系数直接乘以向量对应的位置
几何意义
列向量$\left[ \begin{matrix} a \ b \ c \end{matrix}\right]$就是理解为空间中的原点到点$(a,b,c)$ 的一条有向线段。
线性组合的几何含义就是空间中的列向量根据矢量相加的法则，最终得到一条新的有向线段（2维）或者更高维的平面。
与线性方程组的关系
与 式子 （1）的线性组合相对应的线性方程组如下：
$$c + 2d = x \ c + 3d = y \, = > \left[ \begin{matrix} 1 & 2 \ 1 & 3 \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} c \ d\end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix} x \ y \end{matrix}\right] \tag{2}$$
构造系数矩阵和未知数列向量，相乘，得到结果向量。
向量点乘和长度
两个向量的点乘定义
对于两个向量v = (v1, v2) 和 w = (w1, w2) ，我们将这两个向量的点乘定义为
$$v \cdot w = v1 w1 + v2 w2 \tag{3}$$
也就是向量对应位置的数值相乘，然后求和得结果。
向量长度
对于一个向量 v 的长度，我们定义为
$length = ||v|| = \sqrt{v \cdot v}\tag{4}$
也就是向量和自身进行点乘运算，然后开方得到结果。更直观的表达就是，向量每一个元素进行平方求和，然后再开方。
单位向量
单位向量 u 就是长度为 1 的向量，该向量与自身点乘结果为1 即 $u \cdot u = 1 $。
对于每一个向量 v，要得到对应的单位向量，方法就是该向量除以向量长度，得到单位向量 u。用以下式子表示：
$u = \frac{v}{||v||} \tag{5} $
其中单位向量 u 与 对应的向量 v 的方向相同。
向量之间的夹角
对于两个非零向量 v w，夹角 $\theta$, 其之间存在的关系是
$$ \frac{v \cdot w}{||v||||w||} = \cos{\theta} \tag{6}$$
其中需要注意一种特殊情况，就是两个向量垂直的情况，也就是所谓的正交, 即 $v \cdot w = 0$
重要不等式
关于向量点乘，存在一条不等式，如下：
$$ | v \cdot w | \le ||v|| \,||w|| \tag{7}$$
含义是：两个向量点乘的结果的绝对值 $\le $ 两个向量的长度相乘的结果。
关于向量相加，存咋一条不等式如下：
$$||v + w|| \le ||v|| + ||w|| \tag{8}$$
含义是：两个向量相加的结果的绝对值 $\le$ 两个向量长度之和
矩阵
Ax = b 与线性组合的关系
线性组合能够转换成矩阵相乘的形式 $Ax = b$，以下是书中的一个例子。
线性组合和矩阵相乘 Ax = b，各部分的意思是：
- A 代表一个矩阵，矩阵的列向量就是线性组合中的所有向量
- x 代表一个向量，其元素是线性组合中所有的系数
- b 是一个向量，是线性组合中的结果
对于每一个输入向量 x，与差分矩阵 A 相乘，得到的结果都包含在 b 向量内部。
线性方程组
线性方程组和矩阵相乘 Ax = b，各部分的意思是：
- A 该矩阵的各个列向量就是方程组左边部分对应未知数的系数组合。
- x 该向量代表方程组左边未知数的组合
- b 该向量代表方程组右边的数的组合
逆矩阵
逆矩阵其实就是 Ax = b 的逆过程所用到的矩阵, 记为 S。
Ax = b 含义就是输入一个向量x，经过线性矩阵系统A运算，得到新的向量b；
求逆过程就是 x = Sb，含义是：b 经过 逆矩阵系统 S 运算得到原来的输入向量 x。
该关系记为：
$$ A x = b \; is\, solved \,by \,x = A^{-1}b = Sb \tag{9} $$
周期差分矩阵
Cx 之后运算得到的向量各个元素相加之和为0，那么 C 就是 周期差分矩阵。
独立性和依赖性
独立性
如果我们知道 u v …w 这多个向量之中，任意一个向量都不在另外其他所有向量构成的平面内，则称这些向量相互独立。
依赖性
区别于独立性，依赖性就是向量都处在同一平面，任意一个向量可由其他所有向量线性组合得到。也就是说存在一个线性组合使得结果为0。那么向量组就存在依赖性。
